高中数学三角函数公式大全：从基础到高阶一网打尽！

三角函数是高中数学的核心内容，也是高考必考知识点。本文将系统整理高中阶段所有三角函数公式，包括基本公式、诱导公式、和差公式、倍角公式、半角公式、积化和差公式、和差化积公式等，并配以典型例题解析，帮助学生彻底掌握三角函数公式的应用技巧，轻松应对考试难题。

一、三角函数基本概念与公式

三角函数是研究三角形边角关系的数学工具，主要包括正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)、余切(cot)、正割(sec)、余割(csc)六种函数。

1. 基本定义

在直角三角形ABC中(C为直角)：

• sinA = 对边/斜边 = a/c
• cosA = 邻边/斜边 = b/c
• tanA = 对边/邻边 = a/b
• cotA = 邻边/对边 = b/a
• secA = 斜边/邻边 = c/b
• cscA = 斜边/对边 = c/a

2. 基本关系式

• 倒数关系：sinθ·cscθ=1；cosθ·secθ=1；tanθ·cotθ=1
• 商数关系：tanθ=sinθ/cosθ；cotθ=cosθ/sinθ
• 平方关系：sin²θ+cos²θ=1；1+tan²θ=sec²θ；1+cot²θ=csc²θ

二、三角函数诱导公式

诱导公式是将任意角的三角函数转化为锐角三角函数的工具，记忆口诀："奇变偶不变，符号看象限"。

函数	π/2±α	π±α	3π/2±α	2π±α
sin	cosα	∓sinα	-cosα	±sinα
cos	∓sinα	-cosα	±sinα	cosα
tan	∓cotα	±tanα	∓cotα	±tanα

三、三角函数和差公式

和差公式是三角函数运算的基础，在解三角形、求值化简等方面有广泛应用。

1. 正弦和差公式

sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ

2. 余弦和差公式

cos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ

3. 正切和差公式

tan(α±β) = (tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)

四、三角函数倍角公式

倍角公式是三角函数公式中的重要组成部分，在积分、微分等高等数学中也有广泛应用。

• sin2α = 2sinαcosα
• cos2α = cos²α-sin²α = 2cos²α-1 = 1-2sin²α
• tan2α = 2tanα/(1-tan²α)

五、三角函数半角公式

半角公式常用于角度减半的计算，在解三角形时特别有用。

• sin(α/2) = ±√[(1-cosα)/2]
• cos(α/2) = ±√[(1+cosα)/2]
• tan(α/2) = ±√[(1-cosα)/(1+cosα)] = (1-cosα)/sinα = sinα/(1+cosα)

六、三角函数积化和差公式

积化和差公式可以将三角函数的乘积转化为和差形式，简化计算过程。

• sinαcosβ = 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
• cosαsinβ = 1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]
• cosαcosβ = 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
• sinαsinβ = -1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]

七、三角函数和差化积公式

和差化积公式是积化和差公式的逆运算，在解方程、化简表达式时非常有用。

• sinα+sinβ = 2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
• sinα-sinβ = 2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
• cosα+cosβ = 2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
• cosα-cosβ = -2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

八、三角函数万能公式

万能公式可以将所有三角函数转化为tan(α/2)的函数，在积分运算中特别有用。

• sinα = 2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)]
• cosα = [1-tan²(α/2)]/[1+tan²(α/2)]
• tanα = 2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]

九、常见问题解答

1. 如何记忆这么多三角函数公式？

建议采用理解记忆法，掌握公式间的推导关系。例如，和差公式是基础，倍角公式是和差公式的特例，半角公式可由倍角公式变形得到。同时可以制作公式卡片，利用零碎时间反复记忆。

2. 三角函数公式在高考中如何考查？

根据近年高考统计，三角函数题目约占15-20分，主要考查：公式的直接应用(如2022年全国卷Ⅰ第17题)、解三角形(如2021年新高考Ⅰ卷第18题)、与其他知识综合(如与导数、向量结合)。

3. 遇到复杂的三角函数化简题怎么办？

建议按照以下步骤：①观察角度关系，考虑使用和差或倍角公式；②统一函数名称，通常化为sin和cos；③考虑因式分解或通分；④最终目标是化简为最简形式或题目要求的形式。

十、典型例题解析

例题1：已知sinα=3/5，α∈(π/2,π)，求cos2α和tan(α/2)的值。

解析：先求cosα=-4/5(第二象限余弦为负)，然后： cos2α=1-2sin²α=1-2×(9/25)=7/25； tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=(1+4/5)/(3/5)=3

例题2：化简sin10°sin50°sin70°。

解析：利用积化和差公式： 原式=1/2[cos40°-cos60°]sin70° =1/2cos40°sin70°-1/4sin70° =1/4[sin110°+sin30°]-1/4sin70° =1/4sin70°+1/8-1/4sin70°=1/8

通过系统掌握这些三角函数公式，并配合适量练习，相信同学们一定能够攻克三角函数这一重要章节，为高考数学打下坚实基础！